12 - Multiples et diviseurs - Cours

Définitions :
Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque la division euclidienne de a par b a un reste nul.
On dit que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a.
Exemple :
65 est divisible par 5.
65 est un multiple de 5 : \( 5 \times ... = 65\)
5 est un diviseur de 65 : \( 65 \div 5 = 13 \) et 13 est un nombre entier
Propriété :
Il existe différents critères de divisibilités. Un nombre est divisible par :
  • 2 si son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8
  • 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
  • 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4
  • 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
  • 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
  • 10 si son chiffre des unités est 0.
Exemple :
375 n'est pas un multiple de 2 car le chiffre des unités est 5. Pour la même raison, c'est un multiple de 5 mais pas un multiple de 10.
3+7+5=15 et 15 est un multiple de 3 mais pas un multiple de 9, donc 375 est un multiple de 3 mais pas un multiple de 9.
75 n'est pas un multiple de 4, donc 375 n'est pas un multiple de 4.
Remarque :
0 est un multiple de tous les nombres et 1 est un diviseur de tous les nombres.
Définition :
Un nombre premier est un nombre qui ne possède que deux diviseurs différents : 1 et lui même.
Remarques :
1 n'est pas un nombre premier.

Les nombres premiers à savoir par coeur sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29.
Propriété :
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut être écrit sous la forme de produits de facteurs premiers.
Exemple :
156 = 2 × 78
156 = 2 × 2 × 39
156 = 2 × 2 × 3 × 13

750 = 10 × 75
750 = 5 × 2 × 75
750 = 5 × 2 × 25 × 3
750 = 5 × 2 × 5 × 5 × 3
750 = 2 × 3 × 5 × 5 × 5
Méthode :
La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier des fractions :

234 = 2 × 117
234 = 2 × 9 × 13
234 = 2 × 3 × 3 × 13

195 = 5 × 39
195 = 5 × 3 × 13
195 = 3 × 5 × 13

234195=2×3×3×133×5×13=2×35=65