Chapitre 12 : Multiples et Diviseurs

Remarque :
Comme le reste de la division euclidienne de 128 par 4 est 0, on peut dire que :
  • 128 est un multiple de 4 : autrement dit « 128 est dans la table de 4 » ;
  • 128 est divisible par 4 : on peut diviser 128 par 4 sans qu'il y aie de reste ;
  • 4 est un diviseur de 128.
Propriété :
Il existe différents critères de divisibilités. Un nombre est divisible par :
  • 2 si son chiffre des unités est 0; 2; 4; 6 ou 8
  • 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
  • 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4
  • 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
  • 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
  • 10 si son chiffre des unités est 0.
Exemple :
375 n'est pas un multiple de 2 car le chiffre des unités est 5. Pour la même raison, c'est un multiple de 5 mais pas un multiple de 10.
3+7+5=15 et 15 est un multiple de 3 mais pas un multiple de 9, donc 375 est un multiple de 3 mais pas un multiple de 9.
75 n'est pas un multiple de 4, donc 375 n'est pas un multiple de 4.
Remarque :
0 est un multiple de tous les nombres et 1 est un diviseur de tous les nombres.
Méthode :
Pour lister tous les diviseurs d'un nombre, il suffit de lister toutes les multiplications tel que ce nombre soit le résultat.






Définition :
Un nombre est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui même.
Exemple :
3 est un nombre premier, mais 8 ne l'est pas : 3 est divisible que par 3 et 1 ; 8 est divisible par 2.
Remarque :
1 n'est pas un nombre premier car il ne possède qu'un diviseur : 1.
Méthode :
Pour trouver les nombres premiers, on peut utiliser le crible d'Ératosthène : les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 et 29 (à savoir par coeur)
Propriété :
Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut être écrit sous la forme de produits de facteurs premiers.
Exemple :
156 = 2 × 78
156 = 2 × 2 × 39
156 = 2 × 2 × 3 × 13

750 = 10 × 75
750 = 5 × 2 × 75
750 = 5 × 2 × 25 × 3
750 = 5 × 2 × 5 × 5 × 3
750 = 2 × 3 × 5 × 5 × 5
Méthode :
La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier des fractions :

234 = 2 × 117
234 = 2 × 9 × 13
234 = 2 × 3 × 3 × 13

195 = 5 × 39
195 = 5 × 3 × 13
195 = 3 × 5 × 13

234195=2×3×3×133×5×13=2×35=65